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<!DOCTYPE html>

<title>Magnetohydrodynamik</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Magnetohydrodynamik</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Magnetohydrodynamik</b> (MHD) ist ein Teilgebiet der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a>. Sie beschreibt das Verhalten elektrisch leitender <a href="Fluid" title="Fluid">Fluide</a>, die von <a href="Magnetisches_Feld" class="mw-redirect" title="Magnetisches Feld">magnetischen</a> (und <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen</a>) Feldern durchdrungen werden.

</p><p>Die Magnetohydrodynamik im engeren Sinne behandelt Flüssigkeiten, insbesondere auch <a href="Plasma_(Physik)" title="Plasma (Physik)">Plasmen</a> (Magnetoplasmadynamik, MPD), die im Rahmen der MHD als Flüssigkeiten (Fluide) beschrieben werden. Die Magnetogasdynamik (MGD) dagegen behandelt Gase.

</p><p>Die mathematische Behandlung erfolgt durch eine Kombination der <a href="Gleichungen_von_Navier-Stokes" class="mw-redirect" title="Gleichungen von Navier-Stokes">Navier-Stokes-Gleichungen</a> der <a href="Hydrodynamik" class="mw-redirect" title="Hydrodynamik">Hydrodynamik</a> mit den <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a> der <a href="Elektrodynamik" title="Elektrodynamik">Elektrodynamik</a>.

</p><p>Typische Anwendungsgebiete der MHD sind die Strömungsbeeinflussung und die Strömungsmessung in <a href="Metallurgie" title="Metallurgie">Metallurgie</a> und <a href="Halbleiter" title="Halbleiter">Halbleiter</a><a href="Einkristall" title="Einkristall">einkristall</a><a href="Kristallz%C3%BCchtung" title="Kristallzüchtung">züchtung</a> sowie die Beschreibung von Plasmen in <a href="Sternatmosph%C3%A4re" title="Sternatmosphäre">stellaren Atmosphären</a> und <a href="Fusionsreaktor" class="mw-redirect" title="Fusionsreaktor">Fusionsreaktoren</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Theorie">Theorie</h2></div>

<p>Um die Dynamik eines Plasmas in allen Einzelheiten zu beschreiben, wäre es nötig, die Bewegungsgleichung für jedes Teilchen zu lösen. Natürlich ist dieser Ansatz unsinnig, da die Zahl der Teilchen im Allgemeinen sehr groß ist. Um das Problem trotzdem lösen zu können, wählt man einen statistischen Ansatz. Das heißt in der Praxis, dass man, anstatt die <a href="Trajektorie_(Physik)" title="Trajektorie (Physik)">Trajektorien</a> der Einzelteilchen zu betrachten, makroskopische Größen (Mittelwerte) verwendet.

</p><p>Ein Beispiel für eine solche Größe ist die Fließgeschwindigkeit eines Flusses. Insgesamt bewegt sich das Flusswasser in einer Richtung auf das Meer zu. Jedes einzelne Wassermolekül kann sich dabei aber durchaus „kreuz und quer“ bewegen, da es andauernd mit anderen Molekülen wechselwirkt. Entscheidend für das makroskopische Verhalten ist nur, dass die mittlere Geschwindigkeit der Fließgeschwindigkeit entspricht. Mit solchen makroskopischen Größen wie Geschwindigkeit und Druck lassen sich dann alle Phänomene der Schifffahrt adäquat beschreiben, ohne dass jemals ein einzelnes Molekül ins Spiel kommt.

</p><p>So ähnlich ist es auch bei der MHD. Auch sie ist im Grunde eine hydrodynamische Theorie in dem Sinne, dass Plasmen ähnlich behandelt werden wie Flüssigkeiten. Auch hier werden keine Einzelteilchen, sondern „gemittelte Größen“ behandelt. Die MHD vereinigt Elemente der Hydro- und Elektrodynamik um eine Theorie „elektrisch leitender Plasmen“ zu formen.

</p><p>Üblicherweise werden noch einige weitere Näherungen gemacht. Das sind erstens elektrische Neutralität, zweitens die Gültigkeit des <a href="Ohmsches_Gesetz" title="Ohmsches Gesetz">ohmschen Gesetzes</a> und drittens Quasigleichgewicht. Die letzte Näherung bedeutet, dass das Plasma sich zwar entwickelt, aber langsam im Vergleich zu der Zeit in der sich Gleichgewicht einstellt. Diese Annahme stellt eine große Vereinfachung für die Gleichungen dar, da sie zum Beispiel dafür sorgt, dass der Druck als skalare Größe behandelt werden kann, während man es im Allgemeinen mit einem (richtungsabhängigen) <a href="Tensor" title="Tensor">Tensor</a> zu tun hat. Die elektrische Neutralität eliminiert die Ladungsdichte aus den Gleichungen. Unter diesen Voraussetzungen können nun die Gleichungen der MHD formuliert werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_MHD-Gleichungen">Die MHD-Gleichungen</h3></div>

<p>Die Grundgleichungen der MHD lauten (in <a href="Gau%C3%9Fsches_Einheitensystem" title="Gaußsches Einheitensystem">gaußschen CGS-Einheiten</a>) wie folgt:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}\partial _{t}\rho +\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )&=&0&(1)\\[2ex]\rho \partial _{t}\mathbf {v} +\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=&{\dfrac {\mathbf {J} \times \mathbf {B} }{c}}+\rho \mathbf {g} +\mathbf {F} &(2)\\[2ex]\nabla \times \mathbf {B} &=&{\dfrac {4\pi }{c}}\,\mathbf {J} &(3)\\[2ex]\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\dfrac {1}{c}}\,\partial _{t}\mathbf {B} &(4)\\[2ex]\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0&(5)\\[2ex]\mathbf {J} &=&\sigma \left(\mathbf {E} +{\dfrac {\mathbf {v} \times \mathbf {B} }{c}}\right)\;&(6)&\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ec752f87813af1fbbf254c020ba39108239c3b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -19.338ex; width:55.098ex; height:39.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}\partial _{t}\rho +\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )&=&0&(1)\\[2ex]\rho \partial _{t}\mathbf {v} +\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=&{\dfrac {\mathbf {J} \times \mathbf {B} }{c}}+\rho \mathbf {g} +\mathbf {F} &(2)\\[2ex]\nabla \times \mathbf {B} &=&{\dfrac {4\pi }{c}}\,\mathbf {J} &(3)\\[2ex]\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\dfrac {1}{c}}\,\partial _{t}\mathbf {B} &(4)\\[2ex]\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0&(5)\\[2ex]\mathbf {J} &=&\sigma \left(\mathbf {E} +{\dfrac {\mathbf {v} \times \mathbf {B} }{c}}\right)\;&(6)&\end{matrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die vorkommenden Größen sind die Massendichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"></span>, die Plasmageschwindigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} }" loading="lazy"></span>, der Druck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>, der elektrische Strom <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {J} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {J} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7686846b1a6b756cb514954000004ab5e7b2a5ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.381ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {J} }" loading="lazy"></span>, das Magnetfeld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {B} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {B} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cafb0ef39b0f5ffa23c170aa7f7b4e718327c4d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.901ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {B} }" loading="lazy"></span>, das elektrische Feld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d7f22b39d51f780fc02859059c1757c606b9de2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.757ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} }" loading="lazy"></span>, die Gravitationsbeschleunigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {g} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {g} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cdf843789e9564a867aee3ff184453b72ecbafe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.337ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {g} }" loading="lazy"></span> und die Lichtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span>. In Gleichung (2) wurde die Gravitation explizit berücksichtigt; der Term <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.683ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} }" loading="lazy"></span> deutet an, dass im Allgemeinen weitere Kräfte wie z. B. Reibungskräfte berücksichtigt werden müssen, die hier nicht explizit angegeben wurden. Gleichung (1) beschreibt die Massenerhaltung, Gleichung (2) ist die „Bewegungsgleichung“ oder auch „Impulsgleichung“, die Gleichungen (3), (4) und (5) stammen aus der Elektrodynamik (<a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a>), wobei in Gleichung (3) der <a href="Verschiebungsstrom" title="Verschiebungsstrom">Verschiebungsstrom</a> vernachlässigt wurde. Gleichung (6) ist das ohmsche Gesetz mit der <a href="Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit" title="Elektrische Leitfähigkeit">elektrischen Leitfähigkeit</a>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span>. Dies ist die einzige Gleichung in der <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">relativistische Effekte</a> berücksichtigt werden.

</p><p>Um das <a href="Gleichungssystem" class="mw-redirect" title="Gleichungssystem">Gleichungssystem</a> zu schließen, wird noch mindestens eine weitere Gleichung benötigt. Diese kann zum Beispiel die Gleichung der lokalen <a href="Energieerhaltung" class="mw-redirect" title="Energieerhaltung">Energieerhaltung</a> zusammen mit der <a href="Zustandsgleichung" title="Zustandsgleichung">Zustandsgleichung</a> der Materie sein.

</p><p>Die Gleichungen der MHD können auf unterschiedliche Arten hergeleitet werden. Eine Möglichkeit ist von der <a href="Boltzmann-Gleichung" title="Boltzmann-Gleichung">Boltzmann-Gleichung</a> auszugehen, um zum obigen Ergebnis zu kommen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Induktionsgleichung">Die Induktionsgleichung</h3></div>

<p>Durch die Kombination der Gesetze von <a href="Andr%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re" title="André-Marie Ampère">Ampère</a>, <a href="Michael_Faraday" title="Michael Faraday">Faraday</a> und <a href="Georg_Simon_Ohm" title="Georg Simon Ohm">Ohm</a> (Gleichungen 3, 4 und 6) erhält man die sogenannte <i>Induktionsgleichung.</i>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )+\eta \Delta \mathbf {B} \;.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6f8e520d27f94437c2b93e4c7cc962c8eed0db5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )+\eta \Delta \mathbf {B} \;.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>In der Gleichung bezeichnet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta =c^{2}/(4\pi \sigma )=1/(\mu _{0}\sigma )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =c^{2}/(4\pi \sigma )=1/(\mu _{0}\sigma )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b445caa0229d55baf9e559a4475e2708d59e8788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.143ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \eta =c^{2}/(4\pi \sigma )=1/(\mu _{0}\sigma )}" loading="lazy"></span> die <i>magnetische Diffusivität.</i> Diese Gleichung spielt eine wichtige Rolle für das Verständnis magnetischer Plasmen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ideale_MHD">Ideale MHD</h3></div>

<p>Die Lösung der MHD Gleichungen kann sehr kompliziert werden. In vielen Fällen können die Gleichungen jedoch durch weitere Annahmen vereinfacht werden, um ihre Lösung zu erleichtern. Nimmt man an, dass die elektrische Leitfähigkeit des Plasmas unendlich groß ist (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a75bfade39715080bdd4e5a7fb247cd7087d74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.752ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma =\infty }" loading="lazy"></span>), es daher also keinen elektrischen Widerstand besitzt, nennt man die resultierende Theorie „Ideale MHD“ im Gegensatz zur „resistiven MHD“ mit endlicher Leitfähigkeit. Im idealen Fall liefert Gleichung (6) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} \cdot c=-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} \cdot c=-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c7a5bc68eae1afc89ec4d79a5e757a90f6bcf55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.502ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} \cdot c=-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }" loading="lazy"></span>.

</p><p>Beispiele für die Anwendbarkeit der Idealen MHD finden sich zum Beispiel bei der Berechnung von Plasmaströmungen in Zusammenhang mit der <a href="Kernfusion" title="Kernfusion">Kernfusion</a> oder stellaren <a href="Korona_(Sonne)" title="Korona (Sonne)">Koronen</a>. Zusätzlich wird oft angenommen, dass das Plasma inkompressibel ist (also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{t}\rho =0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{t}\rho =0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/172151dc6a5e44054d887dcc8a8c11ec6fbf796a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.523ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \partial _{t}\rho =0}" loading="lazy"></span>) und es keine innere Reibung (<a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskosität</a>) gibt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eingefrorenes_magnetisches_Feld">Eingefrorenes magnetisches Feld</h3></div>

<p>Die MHD kombiniert die hydro- und elektrodynamischen Eigenschaften von Plasmen. Somit sind Materialbewegungen und das Verhalten des Magnetfeldes nicht unabhängig voneinander. Plasmabewegungen führen zu weiteren magnetischen und elektrischen Feldern, die im Inneren des Plasmas wiederum zu <a href="Elektrischer_Strom" title="Elektrischer Strom">elektrischen Strömen</a> führen.

</p><p>Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich für den Fall der Idealen MHD. Hier verschwindet der elektrische Widerstand des Plasmas und die Induktionsgleichung nimmt die Form

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d69780af733b30d270da8ad5b2c6444ad573ee2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.798ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>an. Man kann zeigen, dass in diesem Falle Plasma und Magnetfeld gekoppelt sind; das Magnetfeld folgt den Plasmaströmungen. Man spricht in diesem Falle von einem „eingefrorenen“ Magnetfeld oder, im Zusammenhang mit der idealen Induktionsgleichung, auch von einer „flusserhaltenden“ Gleichung. Die Morphologie des Magnetfeldes kann auch in diesem Falle beträchtlichen Änderungen unterworfen sein, es ist aber wichtig, dass keine <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologischen</a> Änderungen (daher keine Änderungen im Zusammenhang des Magnetfeldes) vorkommen können.

</p><p>Ob dabei das Magnetfeld dem Plasma oder das Plasma dem Magnetfeld folgt, hängt davon ab, welche Komponente dominiert, daher einen größeren Druck ausübt. In der <a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a> können beide Fälle beobachtet werden. Während das Plasma in der <a href="Photosph%C3%A4re" title="Photosphäre">Photosphäre</a> sehr dicht ist und die Plasmabewegungen aus der Konvektionszone das Verhalten des Magnetfeldes dominieren, ist das Plasma in der <a href="Korona_(Sonne)" title="Korona (Sonne)">Korona</a> sehr dünn, so dass die Struktur der Korona vom Magnetfeld dominiert wird.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="MHD-Wellen">MHD-Wellen</h3></div>

<p>Im Inneren des Plasmas können sich verschiedene <a href="Plasmawelle" title="Plasmawelle">Wellenmoden</a> ausbilden. Dieses sind die langsamen und schnellen magnetoakustischen Wellen und die so genannten <i><a href="Alfv%C3%A9n-Welle" class="mw-redirect" title="Alfvén-Welle">Alfvén-Wellen</a></i>. Diese Moden stellen Spezialfälle für Wellen dar, die sich entweder parallel oder senkrecht zum Magnetfeld ausbreiten. Sie geben Einblick in die grundlegenden physikalischen Phänomene. Im allgemeinen Fall wird man es jedoch mit einer Überlagerung aller Moden zu tun haben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<p>Die MHD findet vielfältige Anwendungen sowohl im ingenieurtechnischen als auch im naturwissenschaftlichen Bereich.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geo-_und_Sonnendynamo">Geo- und Sonnendynamo</h3></div>

<p>Das <a href="Erdmagnetfeld" title="Erdmagnetfeld">Magnetfeld der Erde</a> wird durch den sogenannten <a href="Geodynamo" class="mw-redirect" title="Geodynamo">Geodynamo</a> erzeugt, der durch die Gleichungen der Magnetohydrodynamik beschrieben wird. Das Erdmagnetfeld entsteht im äußeren <a href="Erdkern" title="Erdkern">Erdkern</a>, der vorwiegend aus flüssigem <a href="Eisen" title="Eisen">Eisen</a> besteht (siehe <a href="Erdmagnetfeld#Entstehung_und_Aufrechterhaltung_(Geodynamo)" title="Erdmagnetfeld">Entstehung und Aufrechterhaltung des Erdmagnetfeldes (Geodynamo)</a>).

</p><p>Die im Zusammenhang mit einem <a href="Geodynamo" class="mw-redirect" title="Geodynamo">Geodynamo</a> auftretenden <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> können nur in stark vereinfachten Fällen analytisch gelöst werden. <a href="Partielle_Differentialgleichung#Numerische_Verfahren" title="Partielle Differentialgleichung">Numerische Verfahren</a> liefern seit Mitte der 1990er Jahre erste Ansätze zum Verständnis der <a href="Dynamik_(Physik)" title="Dynamik (Physik)">Dynamik</a> des <a href="Erdmagnetfeld" title="Erdmagnetfeld">Erdmagnetfeldes</a>.

</p><p>Ähnlich verhält es sich mit dem Magnetfeld der Sonne und anderer Sterne ähnlichen <a href="Spektraltyp" class="mw-redirect" title="Spektraltyp">Spektraltyps</a>. Die Entstehung ihrer Magnetfelder resultiert aus dem Zusammenspiel mehrerer Faktoren in den äußeren Schichten der Sterne (<a href="Dynamotheorie" title="Dynamotheorie">Dynamotheorie</a>) und wird ebenfalls mit auf der MHD beruhenden Modellen beschrieben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stellare_Atmosphären"><span id="Stellare_Atmosph.C3.A4ren"></span>Stellare Atmosphären</h3></div>

<p>Die <a href="Korona_(Sonne)" title="Korona (Sonne)">Korona</a> (äußerste Atmosphäre) der Sonne und anderer Sterne ist ein hochstrukturierter Bereich sehr niedriger <a href="Plasmadichte" class="mw-redirect" title="Plasmadichte">Plasmadichten</a>, in dem das Magnetfeld die dominierende, strukturgebende Komponente darstellt. MHD-Effekte sind hier sehr wichtig, um die Aufteilung und Dynamik dieser äußeren Sternatmosphäre zu beschreiben und zu verstehen. Auch in den darunterliegenden atmosphärischen Schichten der <a href="Chromosph%C3%A4re" title="Chromosphäre">Chromosphäre</a> und der <a href="Photosph%C3%A4re" title="Photosphäre">Photosphäre</a> spielt die MHD eine wichtige Rolle.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektromagnetische_Strömungsbeeinflussung"><span id="Elektromagnetische_Str.C3.B6mungsbeeinflussung"></span>Elektromagnetische Strömungsbeeinflussung</h3></div>

<p>Magnetfelder werden in der Metallurgie eingesetzt, um die Strömung von Flüssigmetallen wie beispielsweise Stahl oder Aluminium zu beeinflussen. Bei der Anwendung ist zwischen statischen und zeitabhängigen Magnetfeldern zu unterscheiden. Statische (zeitunabhängige) Magnetfelder führen zu einer Dämpfung von Turbulenz und werden deshalb in Form magnetischer Bremsen (englisch: electromagnetic brakes) beim Stranggießen von Stahl eingesetzt. Zeitabhängige Magnetfelder finden Anwendung zum elektromagnetischen Abstützen beim Gießen von Aluminium (elektromagnetisches Gießen).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optimierung_elektrochemischer_Prozesse">Optimierung elektrochemischer Prozesse</h3></div>

<p>Die Beeinflussung elektrochemischer Anwendungen durch ein Magnetfeld wird <a href="Magnetoelektrochemie" title="Magnetoelektrochemie">Magnetoelektrochemie</a> genannt. Durch dieses wird aufgrund der MHD bei Stromfluss eine Konvektionsströmung im Elektrolyten hervorgerufen. So lassen sich bei Elektrolysen höhere Stromdichten erreichen, beispielsweise bei der Metallabscheidung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektromagnetische_Strömungsmessung"><span id="Elektromagnetische_Str.C3.B6mungsmessung"></span>Elektromagnetische Strömungsmessung</h3></div>

<p>Bewegt sich ein elektrisch leitfähiges Fluid unter dem Einfluss eines Magnetfeldes, so wird in dem Fluid eine Spannung erzeugt, die der Stärke des Magnetfeldes und der Strömungsgeschwindigkeit proportional ist. Dieses Prinzip wurde 1832 von Michael Faraday entdeckt, der auf diese Weise (erfolglos) versuchte, die Fließgeschwindigkeit der Themse zu bestimmen. Das Prinzip findet heute in Gestalt von elektromagnetischen Durchflussmessern (auch <a href="Magnetisch-induktiver_Durchflussmesser" title="Magnetisch-induktiver Durchflussmesser">induktive Durchflussmesser</a> genannt), breitgefächerte Anwendung in Lebensmittelindustrie, der chemischen Industrie sowie in Wasserwerken. Bei der Bewegung eines elektrisch leitfähigen Fluids in einem Magnetfeld entstehen in dem Fluid auf Grund der induzierten Spannung auch Wirbelströme. Diese erzeugen im Fluid eine Lorentzkraft, die der Bewegung entgegenwirkt. Dieser physikalische Effekt wird in dem als <a href="Lorentzkraft-Anemometrie" title="Lorentzkraft-Anemometrie">Lorentzkraft-Anemometrie</a> bezeichneten berührungslosen Strömungsmessverfahren angewendet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="MHD-Generator">MHD-Generator</h3></div>

<p>Eine technische Anwendung der Magnetohydrodynamik ist der <a href="Magnetohydrodynamischer_Generator" title="Magnetohydrodynamischer Generator">magnetohydrodynamische Generator</a> (MHD-Generator). Hierbei wird ein Plasma zwischen zwei leitenden <a href="Elektrode" title="Elektrode">Elektroden</a> mit hoher Geschwindigkeit hindurchgeführt. Senkrecht zu den Elektroden wird ein Magnetfeld angelegt, das dann die negativ geladenen <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> und die positiv geladenen <a href="Ion" title="Ion">Ionen</a> auf Grund der gegensätzlichen Ladung trennt. Zwischen den Platten entsteht somit eine <a href="Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">Spannungsdifferenz</a>. Auf diese Weise kann <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> direkt in <a href="Elektrische_Energie" title="Elektrische Energie">elektrische Energie</a> umgewandelt werden, ohne mechanische Komponenten (<a href="Turbine" title="Turbine">Turbinen</a> oder <a href="Generator" class="mw-redirect" title="Generator">Generatoren</a>) benutzen zu müssen. Trotz intensiver Anstrengungen, insbesondere in den 1960er Jahren, ist es nicht gelungen, langzeitstabile Elektroden zu entwickeln. Aus diesem Grunde besitzt der MHD-Generator gegenwärtig keinerlei praktische Bedeutung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="MHD-Antrieb">MHD-Antrieb</h3></div>

<p>Eine elektrisch leitfähige Substanz, wie zum Beispiel ein Plasma, kann in einem elektromagnetischen Feld beschleunigt werden (<a href="Magnetoplasmadynamischer_Antrieb" title="Magnetoplasmadynamischer Antrieb">Magnetoplasmadynamischer Antrieb</a>). Da auch Meerwasser und ionisierte Luft als Ionengemische leitfähig sind, können sie ebenfalls in einem elektromagnetischen Feld beschleunigt werden (<a href="Magnetohydrodynamischer_Antrieb" title="Magnetohydrodynamischer Antrieb">Magnetohydrodynamischer Antrieb</a>). Diese Eigenschaften können im Prinzip zum Antrieb von Schiffen, U-Booten und Fluggeräten genutzt werden. Der Wirkungsgrad solcher Anlagen ist jedoch gering. Aus diesem Grund besitzt der MHD-Antrieb heute keine praktische Bedeutung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="MHD-Sensor">MHD-Sensor</h3></div>

<p>Magnetohydrodynamische Sensoren werden genutzt, um Winkelgeschwindigkeiten zu messen. Die Genauigkeit steigt mit der Größe. Ein Einsatzgebiet ist die Luft- und Raumfahrt. Das Prinzip eines MHD-Sensors, das auch die prinzipielle Idee der Magnetohydrodynamik (MHD) insgesamt verstehen hilft, ist in dieser Skizze dargestellt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Stuart-Zahl" title="Stuart-Zahl">Stuart-Zahl</a></li>

<li><a href="Elektrorheologische_Fl%C3%BCssigkeit" title="Elektrorheologische Flüssigkeit">Elektrorheologische Flüssigkeit</a></li>

<li><a href="Hannes_Alfv%C3%A9n" title="Hannes Alfvén">Hannes Alfvén</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Magnetohydrodynamics?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Magnetohydrodynamik</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://pure.mpg.de/rest/items/item_2537618/component/file_2537617/content">MHD-Vorlesung von Horst Wobig (PDF)</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.aptec.com/magnetohydrodynamic_mhd_technology.html">Beispiele von MHD-Sensoren</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scholarpedia.org/article/MHD_turbulence">MHD turbulence auf Scholarpedia</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literaturhinweise">Literaturhinweise</h2></div>

<ul><li><a href="Eugene_N._Parker" title="Eugene N. Parker">Eugene N. Parker</a>: <i>Cosmical Magnetic Fields: Their Origin and their Activity</i>. Oxford University Press, Oxford 1979. ISBN 978-0-19-851290-5.</li>

<li>Arnold O. Benz: <i>Plasma Astrophysics – Kinetic Processes in Solar and Stellar Coronae.</i> 1993, ISBN 0-7923-2429-3.</li>

<li>J. P. Goedbloed: <i>Principles of magnetohydrodynamics – with applications to laboratory and astrophysical plasmas.</i> Cambridge Univ. Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-62347-2.</li>

<li>Peter A. Davidson: <i>An introduction to magnetohydrodynamics.</i> Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 978-0-521-79487-9.</li>

<li>C. G. Campbell: <i>Magnetohydrodynamics in binary stars.</i> Kluwer, Dordrecht 1997, ISBN 0-7923-4606-8.</li>

<li>Leonard F. Burlaga: <i>Interplanetary magnetohydrodynamics.</i> Oxford Univ. Pr., New York 1995, ISBN 0-19-508472-1.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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